有关数学《三角形恒等变换》公式大全 ,你都学会了多少?大学也是重点。
在数学中,三角函数是一个重点知识,特别是任意角的三角恒等变换公式,需要我们重点掌握。
今天我们就来依次看一下三角公式的推导:
我们首先来看一下两角余弦差的公式推导,看一下公式是怎么来的。这节课,我们借助向量为工具进行推论。
所以说,在讲解之前,大家需要了解向量的运算(加减法),以及向量的数量积运算。
解释:两向量的点乘等于两向量的模乘以构成夹角的余弦值。
其次就是,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
解释:由平面向量的数量积的表示,向量数量积的运算可以转化为向量的坐标运算。
以上两个知识点,用用来推导余弦差公式的,大家要牢记。接下来我们来看看,怎么进行推论公式,我们根据单位圆进行研究。
第一、两角和与差的余弦公式:
在单位圆中,令∠XOB=β,∠XOA=α,则∠AOB=α-β,那么可得点A的坐标为(cos α ,sin α),点B的坐标为(cosβ ,sinβ ),其中O为直角坐标的原点(0,0)。
根据坐标点,可得向量OA,OB
此时根据两向量的数量积运算,转化为坐标运算即可。
然后再根据数量积运算,将cos( α-β )表达出来,就可以得到两角余弦差的运算公式。
将两向量的点乘运算两种形式结合起来,就可以得到需要的结果。
我们通过单位圆以及向量的运算,将两角余弦差公式推导了出来,接下来我们再来看一下余弦的两角和公式,应该怎样去表达。
注解:余弦和公式的推导,大家可以根据余弦差公式进行求解,我们可以令《β=-β》,那么cos(α+β)=cos[α-(-β)],然后再结合诱导公式,就可以得到余弦两角和公式。
由此可得,和差积余弦公式为:
第二、两角和与差的正弦公式:
正弦公式也可以根据两角差的余弦公式推导,我们可以根据诱导公式,将余弦转换成正弦。(这里进行转换时,可以根据奇变偶不变,符号看象限进行求解)
从而可得,两角和的正弦公式。
我们再来看一下,两角差的正弦公式推导,在进行该公式推导时,可以借助两角和的正弦公式进行转化,令《β=-β》。就可以得到sin[α+(-β)]=sin(α-β)。然后根据两角和的正弦公式展开即可。
通过上述讨论,我们可以将两角和与差的正弦公式进行整合,如下所示。
第三、二倍角公式:
正弦的二倍角公式,可以运用两角和的正弦公式进行推导,令《β=α》,那么:
余弦的二倍角公式,可以根据两角和的余弦公式进行推导,令《β=α》,那么:
我们根据sin²α+cos²α=1,还可以将上述二倍角公式进行转化,如下所示:
第四、降幂扩角公式:
可以根据正弦,余弦的二倍角公式进行转化,从而可得如下所示:
第五、升幂缩角公式:
这一类公式也是通过倍角公式进行变换,只需要移项即可得到。
第六、半角公式:
半角公式的推导中,我们可以在正弦,余弦二倍角公式中,用α代2α,以α/2代α进行推导。
今天的知识点就讲到这里,大家下去过后可以看一下下面的练习题。